高三数学第二学期的期中试题

人教版高三数学第二学期的期中试题

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　　一、选择题

　　1.在△ABC中，sinA=sinB，则△ABC是（）

　　A.直角三角形B.锐角三角形

　　C.钝角三角形D.等腰三角形

　　答案 D

　　2.在△ABC中，若acosA=bcosB=ccosC，则△ABC是（）

　　A.直角三角形B.等边三角形

　　C.钝角三角形D.等腰直角三角形

　　答案 B

　　解析 由正弦定理知：sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC，

　　tanA=tanB=tanC，A=B=C.

　　3.在△ABC中，sinA=34，a=10，则边长c的取值范围是（）

　　A.152，+B.(10，+)

　　C.(0,10) D.0，403

　　答案 D

　　解析 ∵csinC=asinA=403，c=403sinC.

　　4.在△ABC中，a=2bcosC，则这个三角形一定是（）

　　A.等腰三角形B.直角三角形

　　C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

　　答案 A

　　解析 由a=2bcosC得，sinA=2sinBcosC，

　　sin(B+C)=2sin Bcos C，

　　sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C，

　　sin(B-C)=0，B=C.

　　5.在△ABC中，已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于（）

　　A.6∶5∶4 B.7∶5∶3

　　C.3∶5∶7 D.4∶5∶6

　　答案 B

　　解析 ∵(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，

　　b+c4=c+a5=a+b6.

　　令b+c4=c+a5=a+b6=k (k0)，

　　则b+c=4kc+a=5ka+b=6k，解得a=72kb=52kc=32k.

　　sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=7∶5∶3.

　　6.已知三角形面积为14，外接圆面积为，则这个三角形的三边之积为（）

　　A.1B.2

　　C.12D.4

　　答案 A

　　解析 设三角形外接圆半径为R，则由，

　　得R=1，由S△=12absinC=abc4R=abc4=14，abc=1.

　　二、填空题

　　7.在△ABC中，已知a=32，cosC=13，S△ABC=43，则b=________.

　　答案 23

　　解析 ∵cosC=13，sinC=223，

　　12absinC=43，b=23.

　　8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=60，a=3，b=1，则c=________.

　　答案 2

　　解析 由正弦定理asinA=bsinB，得3sin60=1sinB，

　　sinB=12，故B=30或150.由ab，

　　得AB，B=30，故C=90，

　　由勾股定理得c=2.

　　9.在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则asinA+b2sinB+2csinC=________.

　　答案 7

　　解析 ∵△ABC的外接圆直径为2R=2，

　　asinA=bsinB=csinC=2R=2，

　　asinA+b2sinB+2csinC=2+1+4=7.

　　10.在△ABC中，A=60，a=63，b=12，S△ABC=183，则a+b+csinA+sinB+sinC=________，c=________.

　　答案 12 6

　　解析 a+b+csinA+sinB+sinC=asinA=6332=12.

　　∵S△ABC=12absinC=126312sinC=183，

　　sinC=12，csinC=asinA=12，c=6.

　　三、解答题

　　11.在△ABC中，求证：a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.

　　证明 因为在△ABC中，asinA=bsinB=csinC=2R，

　　所以左边=2RsinA-2RsinCcosB2RsinB-2RsinCcosA

　　=sin(B+C)-sinCcosBsin(A+C)-sinCcosA=sinBcosCsinAcosC=sinBsinA=右边.

　　所以等式成立，即a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.

　　12.在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，试判断△ABC的形状.

　　解 设三角形外接圆半径为R，则a2tanB=b2tanA

　　a2sinBcosB=b2sinAcosA

　　4R2sin2AsinBcosB=4R2sin2BsinAcosA

　　sinAcosA=sinBcosB

　　sin2A=sin2B

　　2A=2B或2A+2B=

　　A=B或A+B=2.

　　△ABC为等腰三角形或直角三角形.

　　能力提升

　　13.在△ABC中，B=60，最大边与最小边之比为(3+1)∶2，则最大角为（）

　　A.45B.60C.75D.90

　　答案 C

　　解析 设C为最大角，则A为最小角，则A+C=120，

　　sinCsinA=sin120-AsinA

　　=sin120cosA-cos120sinAsinA

　　=32tanA+12=3+12=32+12，

　　tanA=1，A=45，C=75.

　　14.在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a=2，C=4，

　　cosB2=255，求△ABC的面积S.

　　解 cosB=2cos2B2-1=35，

　　故B为锐角，sinB=45.

　　所以sinA=sin(-B-C)=sin34-B=7210.

　　由正弦定理得c=asinCsinA=107，

　　所以S△ABC=12acsinB=12210745=87.

　　1.在△ABC中，有以下结论：

　　(1)A+B+C=

　　(2)sin(A+B)=sin C，cos(A+B)=-cos C;

　　(3)A+B2+C2=

　　(4)sin A+B2=cos C2，cos A+B2=sin C2，tan A+B2=1tan C2.

　　2.借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明.